geometrija

ГЕОМЕТРИЈА СВЕМИРА......

Аутор:Светислав Филиповић-ФИЛИП

Свемир, Космос, Васиона, Универзум је бесконачно пространство које нас окружује. То је уствари временски простор у коме плови мноштво небеских тела и која постоје независно од људског знања.Небеска тела се деле на: звезде, планете, сателите, планетоиде, комете, метеоре, црне рупе и неутронске звезде. Растојања у свемиру најчешће се мере светлосном годином, а то је пут дуг 9,46 билиона километара који пређе светлост за годину крећући се брзином од 299.792.458 м/с. Сунце је Земљи најближа звезда која се налази на удаљености од 149.600.000 км или 8,3 светлосне минуте. Старост свемира процењује се на око 13,7 милијарди година.

Како можемо да кажемо да је Земља округла, а не равна, без коришћења било каквих техничких помагала (нпр. да смо древни Грци)?

Најједноставније је посматрати помрачење Месеца. Тад се може приметити Земљина сенка на месецу и видети да је она округла. Стари Грци су мислили, да је Земља округла, зато што су и Сунце и Месец округли. Пиатагора је тврдио да је Земља округла, а Ератостен је израчунао њен пречник. Искористио је раздаљину између два града и углове сунчевих зрака у подне најдужег дана у години. Његово мерење је за 15% одступило, али је то ипак импресиван резултат.

Како можемо да кажемо да је свемир ограничене величине?
Одговор на оба ова питања повлачи дискусију о суштинској геометрији свемира.
Постоје три основна могућа облика Свемира; раван Свемир (еуклидски или нулте закривљености), сферни или затворен Свемир (позитивна закривљеност) или пак хиперболички или отворени Свемир (негативна закривљеност). Приметимо још да је ова закривљеност у зависности од односа закривљености простор-времена и масе, целокупна маса Свемира одређује закривљеност.

Све три геометрије су класе Риманове геометрије, засноване на три могућа положаја паралелних линија:

1.непресецајуће (равна или еуклидска)
2.пресецајуће (сферна)
3.увек дивергентне (хиперболичка)
или можемо посматрати збир углова у троуглу. У равном Свемиру, он је тачно 180°, у затвореном је већи од 180, а у отвореном увек мањи од 180.

Важно је запазити да су следеће слике 2Д сенке 3Д Свемира, немогуће је нацртати геометрију Свемира, можемо је само математички описати. Сви могући Свемири су коначни пошто је коначно време постојања.

Ајнштајнова општа теорија релативитета се може и овако тумачити:
1.Материја и енергија изобличују Свемир, и
2.Деформација Свемира утиче на кретање материје и енергије.
Многи данашњи космолози тврде да живимо у тодимензионом свемиру који је у закривљен у четвртој димензији. Нико, још увек, не може показати четврту димензију, иако је она свуда око нас. Четврта димензија је правац различит од свих нормалних праваца. То није ни горе-доле, ни лево-десно, нити са стране.

Неки кажу да је време четврта димензија. То је у основи тачно. Ипак, време није «правац» о ком говоримо. Ако желимо да уврстимо време у димензије, тада бисмо требали рећи да живимо у четвородимензионом свету који је у петодимензионом! Дубљи увид у Општу теорију релативитета доноси закључак да ефекат гравитације може бити редукован на став о простор-време геометрији. Посебно, Ајнштајн је показао да у Општој теорији релативитета маса изазива кривљење простора, и објекти који путују у том закривљеном простору имају савијене путање, управо онако како би сила деловала на њих.

Закривљеност простора у две димензије

Идеја о закривљености површине није непозната пошто живимо на површини сфере. Општије, математичари разликују три квалитативно различите врсте закривљености, како то илуструје слика.
Ово су примери површине у две димензије. На пример, лева површина се може описати координатнмим системом са две променљиве (x и y, рецимо); такође, друге две површине се обе описију са две независне координате. За равну површину с десна се каже да има нула закривљеност, за сферну се каже да има позитивну закривљеност, а за седластолику површину да има негативну закривљеност.
Закривљеност 4-димензионог простор-времена
Претходно није тешко за визуелно представљање, али Општа теорија релативитета показује да Свемир, сам по себи, (а не неки објект у њему) може бити закривљен, и даље, Свемир има три просторне димензије и једну временску. Ово је тешко замислити! Међутим, може се описати математичким методама које смо користили, раније, у случају две димензије.
Пошто је сам Свемир закривљен, постоје три опште могућности за геометрију Свемира. Свака од ових могућности је везана за количину масе (а ово за укупну снагу гравитације) у Свемиру, и свака имплицира различиту прошлост и будућност Свамира:
Ако је простор негативно закривљен, нема довољно масе да заустави ширење свемира. Тада Свемир нема никаквих ограничења и шириће се заувек. Одавде термин Отворен Свемир.
Ако није закривљен (раван је), тада има тачно онолико масе да заустави ширење, али само после бесконачно много времена. Према томе, Свамир, ни у овом сличају, нема ограничења и шириће се заувек, али сразмера ширења ће временом тежити нули у бесконачном интервали времана. Ово се назива раван Свамир или Еуклидски Свемир.
Ако је закривљеност позитивна, тада има много више масе него што је потребно да би се зауставило ширење. У овом сличају Свемир није коначан, али нама краја (баш као што површ сфере ноје бесконачна ало нема тачке на њој која би се могла звати «крај»). Ширење ће временом престати и прећи у скупљање. Стога, у неком времену у будућности галаксије ће престати да се удаљавају и почеће да се приближавају један другој онако како се Свемир буде рушио на самог себе. Ово се зове затворени Свемир.
Који од ових сценарија је тачан још увек је непознато зато што нисмо у могућности да одредимо колико је тачно масе у Свемиру.
Један проблем са овим закључцима је да свемир може бити сферни а ипак толико велик да се видљиви део чини Еуклидски, баш као што се мала површина Земље чини равном. Јасно је објављено, међутим, да је теорија релативитета чисто логичка теорија. Она предвиђа закривљеност сваке мале запремине свемира (његова геометрија) засновано на материји и енергији коју има. Ни теорија релативитета ни стандардна космолошка посматрања не говоре ништа о томе како се те мале запремине уклапају заједно и дају Свемиру његов облик (топологију). Три могуће космичке геомтрије се слажу са разним тополигијама. На пример, теорија релативитета би описала торус и раван потпуно истим једначинанма, иако је торус коначан а раван бесконачна. Одређивање топологије захтева знања физике и изван теорије релативитетеа. Уобичајена је претпоставка да је свемир као раван, «једноструко повезан», што значи да постоји само једна директна путања за светлост која путује од извора ка посматрачу. Једноструко повезан еуклидски или хиперболички свемир би заиста био бесконачан. Али Свемир може бити «вишеструко повезан», као торус, у чијем скучају постоји много таквих путања. Посматрач може видети више слика једне галаксије и може их једноставно третирати као одвојене галаксије у бесконачном свемиру, слично као што посетилац собе с огледалима има илузију да види велику скупину људи. Вишеструко повезан простор није само матеметичка ћуд; то је чак приоритетно у неким шемама за уједињење основних сила у природи, и непротивречи ни једном доступном доказу.
Шта је изван свемира?
Неки се још могу питати шта је изван Свемира. Али ово питање претпоставља да основа физичке стварности мора бити Еуклидски простор неке димензије. Тачније, то претпоставља да ако је простор хиперсфера, тада та хиперсфера мора бити у четвородимензионом Еуклидском простору, и да нам дозвољава да је видимо одатле. Природа, међутим, се не мора држати ове идеје. Било би потпуно прихватљиво за Свемир да буде хиперсфера а да не буде уграђен у неки простор веће димензије. Такав објекат би било тешко видети, јер смо ми навикли да гледамо облике изван њих. Али нема потребе да постоји «изван.»
Крајем деветнаестог века, математичари су открили мноштво коначних простора без граница. Немачки астроном Карл Шварцшилд је изнео рад пред својим колегама 1900-те. У поговору је изазвао читаоце, речима:
«Замислите да се као резултат огромног ширења астрономских искустава, цео свемир састоји од небројено много копија Млечног Пута, тако да коначан Свемир може бити издељен у коцке од којих свака сасдржи једну идентичну копију Млечног Пута. Да ли бисмо заиста поверовали претпоставци о коначно много идентичних копија истог света? Били бисмо много срећнији са посматрањем ових понављања као илизије, да у ствари простор има чудну везу својстава тако да ако би напустили коцку с једне старна, тада бисмо одмах ушли с друге стране.»

Шварцшилдов пример илуструје како неко може ментално да конструише торус од еуклидског простора. У две димензије, почнимо од квадрата и замислимо наспрамне странице као једнаке, тако да ако се изађе из квадрата са једне стране, одмах се улази са оне друге. Осим ових изједначених страница, све остало је баш како јесте. Збир углова у троуглу је 180º, паралелне линије се не секу и тако даље – сва позната правила еуклидске геомертије су сачувана. На први поглед, простор се чини бесконачним онима који живе у њему, јер нема му границе, колико они виде. Без путовања око света и понављања истих објеката, не може се рећи да је у питању торус. У три димензије, почели бисмо са коцком и прилепили бисмо супротне стране да се направи 3-торус. Када је Алберт Ајнштајн објавио први релативистички модел Универзума 1917-те, изабрао је Риманову хуперсферу као општи облик. Тада је топологија Свемира била активна тема за дискусију. Руски математичар Александар Фридман је убрзо генерализовао Ајнштајнов модел тако да допушта и ширећи Свемир и хуперболички Свемир. Његове једначине и данас рутински користе космолози. Нагласио је да се једначине његовог хиперболичког модела могу применити на коначан Свемир исто као на бесконачан (Тада није био познат ни један коначан хиперболички простор).
Како хиперболички простор може бити коначан?
Од свих ствари у космичкој топологији, вероватно је најтеже схватити како хиперболички простор може бити коначан. Да бисмо поједноставили, размотрићемо прво дводимензиони простор.
Слично је конструкцији 2-торуса али почиње се са хипербиличком повшином. Конструише се правилан осмоугао и изједначе супротни парови страница, тако да све што напушта осмоугао преко једне ивице, одмах се враћа преко супротне. Ово је вишеструко повезан простор. Посматрачу у центру осмоугла се чини да види осам сопствених одраза у осам различитих праваца. Чини се да је овај простор бесконачан, иако је заиста коначан. Сличне конструкције могу се направити и у три димензије, али су тешке за видети. Конструише се правилан полиедар у хиперболичком тродимензином простору и прилепе се наспрамне стране тако да све што написти полиедар преко једне стране, врећа се у полиедар преко наспрамне стране.
Углови осмоугла заслужују пажљиво разматрање. На равној површини, углови полигона не зависе од његове величине. Док на закривљеној површини, углови се мењају са величином. На сфери се углови повећавају како се полигон повећава, док се на хиперболичкој површи смањују. Малопређашња конструкција захтева да је осмоугао баш толико велик да има углове од 45º, тако да када су супротне стране идентификоване, осам углова ће се сусрести у једној тачки и збир углова ће бити 360º. Ово фино објашњава зашто конструкција не би радила са равним осмоуглом (у еуклидској геометрији, осам углова од 135º не може се сусрести у једној тачки).
Водимензиони простор добијен идентификовањем наспрамних страница осмоугла мора бити хиперболички. Топологија одређује геометрију.
«Величина полигона или полиедра се мери релартивно у односу на геометријски значајну дужинску скалу простора: радијус закривљења. Сфера, на пример, може имати физичку величину (у метрима), али њена површина ће увек бити тачно 4π пута већа од квадрата над његовим пречником,тј. 4π квадратна радијана. Исти принцип се примењује и на величину хиперболичке топологије, за коју се такође може дефинисати радијус закривљености. Најкомпактнија хиперболичка топологија, коју је открио Викс (Weeks) 1985. , може бити конструисана изједначавањем парова пљосни полиедра са 18 страна. Има запремину од 0.94 кубних радијана. Остале топологије су направљене од знатно сложенијих полиедара.»[
Свемир се такође може мерити у радијанима. Различита астрономска посматрања се слажу да густина материје у космосу је само трећина од потребне да простор буде еуклидски. Или космичка константа прави разлику, или свемир има хиперболичку геометрију са радијусом закривљености до 18 милијарди светлосних година. У другом случају, видљив свемир има запремину од 180 кубних радијана - довољно простора за скоро 200 Виксових полиедара. Другим речима, ако Свемир има Виксову топологију, његова запремина је 0.5 процената од онолико колоко се чини. Свемир се шири равномерно, његове пропорције се не мењају, тако да топологија остаје константна.
Како је све почело?
Откриће ширења Свемира показује очигледним да је Свемир имао почетну тачку настанка, место у прошлости када је пречник Свемира био нула. Пошто је сва материја у Свемиру била концентрисана у малом простору, заједно са свом енергијом, овај моменат Стварања је назван Велики Прасак.
Уобичајено питање које се поставља када се посматра тачка Настанка у врмену је «Шта је било пре Великог Праска?» Оваква питања су бесмислена или без контакста.
Четри главна научна доказа која подржавају теорију Великог Праска су:
1.Олберов парадокс
2.Ширећи свемир (Хаблов закон)
3.Хемијско мноштво светлосних елемената
4.Позадина космичких микроталаса
Теорија Великог Праска је подржана од стране бројних космолога и, без обзира на последње теорије Свемира, остаје кључни елемент за разумевање прошлости. Приметимо још да Тачка постанка аутоматски повлачи две ствари:
1.Свемир је коначног века (око 15 милиона година) и
2.Свемир је коначне величине
Велики прасак
Већина научника се слаже са тим да је Свемир настао пре неких 12 до 20 милијарди година у ономе што нам је познато као Велики Прасак. Мада Велики Прасак сугерише на колосалну експлозију, то у ствари није «експлозија» у смислу који подразумевамо. Свемир је сам по себи експлодирао.
У тренутку Великог Праска, Космос је био бесконачно густ и незамисливо врућ. Космолози верују да све форме материје и енергије, као и простор и време, су формирани у том тренутку. Пошто је «пре» земаљски концепт, нико не може питати шта је било пре Великог праска и «узроковало» га, бар не у контексту било које познате физике.
Наука нам не говори ништа о томе како су се простор, време и матреија понашали у најранијем тренутку нашег Свемира, од Великог Праска до 10-43 секунди касније.
(Тај тренутак се назива «Планково доба».) Свемир се сигурно ширио, жестоко, и од овог ширења се формирала високо енергетска смеша честица и антитела.
Временски преиод од 10-43 до 10-35 секунди после Великог праска се назива «Доба велике унификације». Тада је енергија била толико велика да је сва материја и енергија у суштини била разменљива и у равнотежи. Шта више, електромагнетизам и две нуклеарне силе су биле као једно (гравитација, четврта и најслабија сила, се раздвојила од осталих три током овог доба).
Како се Свемир ширио, он се хладио. Материја (прво фотони, кваркови, неутони и електрони, а затим протони и неутрони) кондензовали су се, све за мање од секунде после Великог Праска. Тек милијарду година касније, кад је свемир био петина данашње величине, материја је оформила прве звезде и галаксије.
Густина свемира
Опис различитих геометрија Свемира (отворен, затворен, раван) такође је повезан са његовом будићношћу. Постоје две могуће будућности за наш свемир, непрестано ширење (отворен и раван), престанак ширења и рушење (затворен). Приметимо још да је раван Свемир специјалан случај ширења чија брзина тежи нули. Кључни фактор који одређује која претпоставка је тачна је количина масе/гравитацје за Свемир у целини. Ако има довољно масе, тада ширење свемира ће бити успорено до заустављања, затим ће се скупљати. Ако нема довољно масе, тада ће се свамир ширити заувек без заустављања. Раван Свемир је онај када има тачно онолико масе ба заустваи ширење, али не и довољно за скупљање.
Параметар који се користи за мерење масе Универзума је критична густина, Омега (Ω). Омега се обично изражава као количник главне густине и густине у равном Универзуму.
Ω -- параметар космичке густине (космичка константа)
Судбина ширења Свемира је одређена количином масе у свемиру, или главном густином материје, ρ.
Густина у равном Свемиру је дата са критичном густином ρc .
Омега је њихов количник:
Ако је Свемир затворен Ω>1
Ако је отворен Ω<1

Тренутна посматрања Свемира показују да је Ω између 0.1 и 0.3, али постоје јаки теоретски разлози да верујемо да је Ω тачно 1.

Посматран цео опсег вредности главне густине свемира изгледа необично близу густини равног Свемира. Теорије о раном Свемиру сугеришу да је вредност Омега баш једнака 1.
Нарушавање симетрије
У раним тренуцима Свемира, притисак и температура су спречавали стабилизацију елементарних честица. Чак и кваркови и лептони нису могли да формирају стабилне објекте све док се Свемир није охладио из супергравитирајуће фазе. Ако елементарне честице нису сталне шта је онда остало? Одговор је симетрија.
«Често се симетрија посматра као однос, али у ствари она има сопствени идентитет који се очувао у току хаоса и бујице у настанку Свемира. Чак иако су честице створене и уништене, увек остаје симетрија у процесу. На пример, за сваки електрон који је формиран, формира се и позитрон. Постоји симетричан, попут огледала, квалитет у свакој интеракцији у раном свемиру.
Чиста симетрија је као новчић. Новчић има две стране, али док се врти, ниједна страна не преовлађује, али обе постоје. Новчић је у стању оба/или. Када падне на земљу, симетрија не нарушена и енергија је ослобођена у процесу.»
Ефекти нарушавања симетрије у раном Свемиру биле су серије фазних промена, попут оних кад се лед топи или кад вода кључа и испарава. Фазна промена је динамичка промена у унутрашњем поретку супстанце. Кад се лед топи, повишена топлота кида веза између молекула воде, и лед више не чува облик. Фазна промена у раном Свемиру појавила се у моменту уједињавања основних сила. Распаривање тих сила производи енергију за фазну промену.
«С поштовањем према Свемиру, фазна промена у току нарушавања симетрије је тачка кад су се особине Свемира радикално промениле. У време супергравитацијског нарушавања симетрије, Свемир је прошао од Планковог доба тоталног хаоса до доба просторно-временске пене. Простор-време је постигнут у току фазног прелаза. У току нарушавања симетрије,маса и простор-време су се раздвојили и честице су настале.»
Може се приметити да како се симетрија нарушава, има све мање реда, а више хаоса. Свемир је у време космичке сингуларноти био чиста симетрија, све силе су имале једнаку снагу, све честице материје су имале исту масу (нула), простор-време је био исти свуда (иако уврнут и ротиран).
Постоје два велика проблема за модел Великог Праска. То су:
Проблем заравнања
Проблем са видокругом
Проблем заравнања је у вези са параметром густине Свемира, Ω. Вредности за Ω могу бити бројеви између 0.01 и 5 (ако је испод 0.01 галаксије се не могу формирати, а ако је већи од 5 Свемир је млађи од најстаријих стена). Измерена вредност је око 0.2. Ово је близу Ω од 1, што је необично јер је Ω од 1 нестабилна тачка за геометрију свемира.
Вредности мало испод или изнад 1 у раном Свемиру су брзо мењане ка много мање од 1 или много веће од 1 (као лопта на врху брда). Тако чињеница да је измерена вредност 0.2 тако близу 1 утиче да очекујемо да у будућности откријемо да је наша вредност превише мала и да Свемир има вредност Ω тачно 1 (због стабилности). Проблем заравнања је да је потребан неки механизам да би вредност Ω била тачно 1 (балансирање оловке).
Проблем са видокругом се тиче чињенице да је Свемир изотропан. Без обзира које угаљене ћошкове гледамо, величина о распоред објеката је исти (космолошки принцип). Али нема разлога да очекујемо ово јер супротне стране Свемира нису узрочно повезане, нека информација која се емитује са једне стране неће стићи до друге за време постојања Свемира (ограниченост путовања брзином светлости).
Сав Свемир има почетак у Великом Праску, али време није постојало све до Планковог доба. И до краја те епохе, Свемир се толико раширио да су му супротне стране престале да буду узрочно повезане.
Решење оба ова проблема је у фази Свемира званој «ширење» (inflation). То је тренутно једина теорија која објашњава зашто је видљиви Свемир и хомоген и узрочно повезан. У току ширења фактор ширења Свемира је био 1054 , тако да наш видокруг обухвата само мали део онога што је цео свемир од Великог Праска.
Узрок ширења је нарушавање симетрије. У овом тренутку, простор-време и материја су одвојени и огромна количина енергије се ослобађа. Та енергија производи притисак коли није примењен на честице материје, него на простор-време. У принципу, честице мирно стоје док се простор између њих шири експоненцијалном брзином. Приметимо још да је ово ширење било брже од брзине светлости, али пошто је ширење било на самој геометрији Свемира, а не на материји, онда није нарушена Специјална теорија релативитета. Наш видљиви Универзум, као део Великог Праска заједно са нашим видокругом, је у ствару само «мехурић» неког већег универзума. Како било, ти други мехурићи нису физички реални пошто су изван нашег видокруга. Можемо на њих показати само у имагинарном, теоретском смислу. Они су изван нашег видокруга и никада нећемо моћи да комуницирамо са тим другим универзумима. Ширење решава проблем заравнања због експоненцијалног раста. Замислите веома згужван папир. Тај папир представља Велики Прасак свемира пре ширења. Ширење је као зумирање неког веома малог дела папира. Ако довољно увећамо тај мали део папира ће изгледати раван. Наш Свемир мора бити исто тако раван из неког разлога, то је веома мали део већег универзума. Проблем видокруга је такође решен тако да наш Свемир је само мали део већег свемира који је био у зависној вези пре ширања. Неку други мехурасти свемир може имати сасвим другачије константе и еволуционе путање, али наш Свемир је састављен од малих, изотропних делова већег универзума.